3D数学学习笔记-矩阵（1）

笔记

1. 基本概念

矩阵（Matrix）是一个按照行和列排列的矩形数组。一个拥有 m 行 n 列的矩阵被称为 m×nm\times n 矩阵 MM。MijM_{ij} 表示矩阵中第 i 行第 j 列的元素。

M=[M11M12⋯M1nM21M22⋯M2n⋮⋮⋱⋮Mm1Mm2⋯Mmn]M = \begin{bmatrix} M_{11} & M_{12} & \cdots & M_{1n} \\ M_{21} & M_{22} & \cdots & M_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ M_{m1} & M_{m2} & \cdots & M_{mn} \end{bmatrix}

  • 单位矩阵
    行列数一致，对角线上的元素为 1，其他元素为 0 的矩阵，记为 II。

I=[100010001]I = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}

  • 零矩阵
    所有元素均为 0 的矩阵，记为 OO。

O=[000000000]O = \begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}

  • 行矩阵
    行矩阵是一个只有一行的矩阵，形式为 1×n1\times n，其中 nn 是列数。

R=[r1r2⋯rn]R = \begin{bmatrix} r1 & r2 & \cdots & r_n \end{bmatrix}

  • 列矩阵
    列矩阵是一个只有一列的矩阵，形式为 n×1n\times 1，其中 nn 是行数。列矩阵可看作是行矩阵的转置矩阵。

C=[c1c2⋮cn]C = \begin{bmatrix} c1\\ c2\\ \vdots\\ c_n \end{bmatrix}

2. 矩阵转置

矩阵的转置是将矩阵的行和列互换，得到一个新的矩阵。设 MM 是一个 m×nm\times n 的矩阵，则它的转置矩阵 MTM^T 是一个 n×mn\times m 的矩阵，满足 Mij=MjiTM_{ij}=M_{ji}^T。

M^T = \begin{bmatrix} m_{11} & m_{21} & \cdots & m_{m1} \\ m_{12} & m_{22} & \cdots & m_{m2} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ m_{1n} & m_{2n} & \cdots & m_{mn} \end{pmatrix}

3. 矩阵运算

  • 矩阵加法：
    两个同维度的矩阵可以逐元素相加

M=[m11m12m21m22],N=[n11n12n21n22]M = \begin{bmatrix} m_{11} & m_{12} \\ m_{21} & m_{22} \end{bmatrix}, \quad N = \begin{bmatrix} n_{11} & n_{12} \\ n_{21} & n_{22} \end{bmatrix}

M+N=[m11+n11m12+n12m21+n21m22+n22]M + N = \begin{bmatrix} m_{11} + n_{11} & m_{12} + n_{12} \\ m_{21} + n_{21} & m_{22} + n_{22} \end{bmatrix}

  • 标量乘法：
    如果矩阵 MM 乘以一个标量 c，其结果是每个元素都乘以 c

M=[m11m12m21m22]M = \begin{bmatrix} m_{11} & m_{12} \\ m_{21} & m_{22} \end{bmatrix}

cM=[c⋅m11c⋅m12c⋅m21c⋅m22]cM = \begin{bmatrix} c \cdot m_{11} & c \cdot m_{12} \\ c \cdot m_{21} & c \cdot m_{22} \end{bmatrix}

  • 矩阵乘法：
    矩阵 MM 与矩阵 NN 的乘法定义为 MM 的行与 NN 的列的点积。设 MM 是 m×nm\times n 矩阵，NN 是 n×yn\times y 矩阵，它们的乘积为 m×ym\times y 矩阵。
    注意：只有第一个矩阵的列数和第二个矩阵的行数相等才可矩阵相乘！

M=[a11a12a13a21a22a23],N=[b11b12b21b22b31b32]M = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \end{bmatrix}, \quad N = \begin{bmatrix} b_{11} & b_{12} \\ b_{21} & b_{22} \\ b_{31} & b_{32} \end{bmatrix}

M×N=[a11⋅b11+a12⋅b21+a13⋅b31a11⋅b12+a12⋅b22+a13⋅b32a21⋅b11+a22⋅b21+a23⋅b31a21⋅b12+a22⋅b22+a23⋅b32]M \times N = \begin{bmatrix} a_{11} \cdot b_{11} + a_{12} \cdot b_{21} + a_{13} \cdot b_{31} & a_{11} \cdot b_{12} + a_{12} \cdot b_{22} + a_{13} \cdot b_{32} \\ a_{21} \cdot b_{11} + a_{22} \cdot b_{21} + a_{23} \cdot b_{31} & a_{21} \cdot b_{12} + a_{22} \cdot b_{22} + a_{23} \cdot b_{32} \end{bmatrix}

(M×N)T=NT×MT(M\times N)^T=N^T\times M^T

4. 矩阵的逆（Matrix Inverse）

给定一个矩阵 MM，如果存在一个矩阵 M−1M^{-1} 使得：

M×M−1=IM \times M^{-1} = I

则称 M−1M^{-1} 为矩阵 MM 的逆矩阵。逆矩阵的存在条件是矩阵 MM 必须是非奇异矩阵（任意行或列全为 0）。逆矩阵是唯一的。
逆矩阵表示的是一种“反变换”。如果矩阵 MM 代表一个线性变换（例如旋转、缩放、平移等），那么逆矩阵 M−1M^{-1} 就表示将这个变换逆向执行。

5. 正交矩阵（Orthogonal Matrix）

一个矩阵 MM 如果满足其转置矩阵和其逆矩阵相同则为正交矩阵：

MT=M−1M×MT=IM^T = M^{-1}\\ M\times M^T = I

正交矩阵表示的是一种保距变换，即在变换过程中保持向量的长度和角度不变。它通常用于描述旋转。